Предметом изучаемой статьи является определение объекта исследования и изложение в общих чертах содержания геоморфологии в терминах теории множеств, математической логики и топологии. Авторами использован имеющийся опыт применения элементов теории множеств и математической логики в геологии (Косыгин, Воронин и др., 1964, 1965 и др.; Геология и математика, 1967) и географии (Родоман, 1967).

— знак принадлежности.

. Вообще в математике прямое произведение трех множеств действительных чисел называется трехмерным евклидовым пространством; произведение n множеств действительных чисел, где n — целое число, называется n-мерным евклидовым пространством. Евклидово пространство представляет собой частный случай метрических пространств. Так называют пространства, в которые можно ввести метрику, определив тем или иным образом расстояние между элементами пространства. В евклидовом пространстве это есть расстояние между точками в обычном понимании.

.

:

(1)

— знак включения подмножества во множество. Выражение (1) представляет собой запись отношения соответствия между множествами S и P (или заданного на множествах S и P), первое из которых называется областью определения, а второе — областью значений соответствия. Множество S материальных точек s Земли отображается соответствием (1) во множество P точек p физического пространства. Точки p, удовлетворяющие этому соответствию, называются образами точки s, последние, в свою очередь, являются прообразами точек p. Соответствие представляет собой обобщение понятия функции, описывая не только однозначные зависимости, когда каждому элементу из области определения (аргументу) соответствует один, и только один, элемент из области значений (функция этого аргумента), но и многозначные зависимости, когда каждому элементу из области определения соответствует более чем один элемент из области значений, как это имеет место, например, для стохастических связей.

. Установив взаимнооднозначное соответствие между множествами S и Ps, получаем возможность внести во множество S метрику из пространства P, или, иначе говоря, определять расстояния между материальными точками Земли как расстояния между точками евклидова пространства.

Теперь можно воспользоваться понятием об окрестности некоторой точки s множества S. Так называют множество точек s, которые находятся внутри сферы произвольного радиуса r с центром в данной точке. Выделим из множества S материальных точек Земли подмножество L точек l литосферы и подмножество A точек a гидро- и атмосферы. Всякая точка l литосферы, сколь угодно малая окрестность которой содержит только точки множества L, называется внутренней точкой множества L. Аналогичным образом определяются внутренние точки множества A.Множество M точек m, окрестности которых содержат точки как множества L, так и множества A, называется в топологии границей между множествами L и A.

Границу между множествами можно не включать ни в одно из них, а можно присоединить к любому из этих множеств. Вещество литосферы обладает гораздо меньшей подвижностью, чем вещество гидро- и атмосфер. Поэтому границу между множествами L и A удобнее присоединить к множеству L, рассматривая ее как внешнюю границу литосферы —земную поверхность. Но в таком виде эта граница, обладая и геометрическими, и вещественными свойствами, является объектом изучения не только геоморфологии, но также геологии и почвоведения. Если четко определять объект изучения геоморфологии и отделить его от объектов изучения геологии и почвоведения, то приходится принять, что задачей геоморфологии является изучение только геометрических, но не вещественных свойств земной поверхности. В математической формулировке это означает, что объектом изучения геоморфологии следует считать не саму границу множества L, а ее отображение в пространство P, т.е. поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, прообразом которой является множество M точек внешней границы литосферы. Такой подход нисколько не исключает рассмотрение в геоморфологии вещественных свойств земной поверхности, которые вводятся в рассмотрение ниже в числе рельефообразующих факторов. Вместе с тем такой подход не исключает рассмотрения в геологии геометрических свойств земной поверхности как ограничения геологических тел. Приведенное определение объекта геоморфологии можно вообще трактовать, как узкое, сохранив наряду с ним принятое сейчас более широкое определение и дав последнему математическую трактовку в виде пространства возможных состояний рельефа, о котором будет идти речь ниже.

, т.е. дают им характеристику, принимающую значения на конечном трехэлементном множестве. Другой пример: различая холмистый, низкогорный, среднегорный и высокогорный рельеф, мы даем типам рельефа качественную характеристику, принимающую значения на упорядоченном четырехэлементном множестве. Характеристики рельефа могут принимать значения на множествах функций, аппроксимирующих его очертания, корреляционных или спектральных функций, описывающих типы рельефа, и др.

Вследствие иерархического строения рельефа, область (участок) земной поверхности, допускающая экспериментальное определение характеристик рельефа, далеко не всегда может рассматриваться в данном масштабе как точка. Но этот общий случай автор исследовать не стал.

Геометрические характеристики рельефа изменяются не только в пространстве, но и во времени. Поэтому необходимо ввести в рассмотрение множество T элементов t времени. Мы привыкли и в обыденной жизни, и при научных наблюдениях над современными процессами измерять время и полагать, что его элементы принимают значения на множестве действительных чисел. Однако реальное время, существующее независимо от наших измерений, не имеет собственной метрики и представляет собой множество событий, упорядоченное отношением нестрогого порядка «раньше — позже» (Уитроу, 1964). Этому определению удовлетворяет относительное геологическое время, элементами которого являются конечные промежутки. Занумеруем множество промежутков прошлого времени числами натурального ряда 0, 1, 2, 3… Натуральный ряд чисел и множества любой природы, которые могут быть поставлены во взаимнооднозначное соответствие с ним, называются счетными множествами (в отличие от несчетных множеств, к которым принадлежит, например, множество действительных чисел). Таким образом, относительное геологическое время принимает значения на конечных подмножествах счетного множества.

. Эти характеристики, подобно геометрическим характеристикам рельефа, могут принимать значения на множестве действительных чисел (сила тяжести, коэффициент трения, температура), на конечных множествах (типы горных пород, климата, растительности), на множестве функций (гранулометрический состав, обеспеченность расходов реки).

Образуем прямое произведение введенных в рассмотрение множеств:

(2)

Введем сокращенные обозначения:

, (3)

. В этих обозначениях будем иметь

, (4)

), элементами которого являются опять-таки множества (в этом случае Qu), называют системой множеств.

Используя (3) и (4), можно написать

(5)

Прямое произведение множеств представляет собой, согласно определению, в данном случае множество векторов вида (p, t, m, g1, g2, …, gk, b1, b2, …, bl). Каждый из этих векторов описывает состояние, которое, вообще говоря, может принять некоторая точка рельефа в некоторый момент времени, находясь под воздействием определенного сочетания рельефообразующих факторов. Множество этих векторов будем называть пространством W возможных состояний рельефа. Как было сказано выше, это пространство можно рассматривать в качестве объекта изучения геоморфологии в том широком понимании, какой придается ему в настоящее время.

В геоморфологии изучаются как сами множества, из которых построено пространство W, так и отношения на этих множествах. Особенно важным представляется изучение отношений

(6)

. Геоморфологический смысл, который может быть вложен в соответствия вида (6), станет понятным из приводимых в дальнейшем примеров.

, из которых строится пространство W, может включать, в зависимости от решаемых задач, те или иные из введенных в рассмотрение множеств. Однако, чтобы не потерялись объекты изучения геоморфологии, в построении пространства W должны участвовать либо множество M материальных точек рельефа, либо хотя бы одно из множеств Gm, на которых принимают значения геометрические характеристики рельефа. В символах математической логики это условие запишется так:

, (7)

множеств, из которых строится пространство состояний W), которое удовлетворяет высказыванию, заключенному в квадратные скобки, представляя собой либо множество M, либо множество Gm».

Множества Gm могут входить как в область значений, так и в область определения соответствия (6). Пусть мы имеем условие:

(8)

должны представлять собой только множества Gm», т.е. областью значений соответствия (6) при соблюдении условия (8) могут быть только те множества, на которых принимают значения геометрические характеристики рельефа. Множества, на которых принимают значения рельефообразующие факторы, элементы пространства и времени, могут входить только в область определения соответствия (6). Иначе говоря, соответствиями, удовлетворяющими условию (8), выражаются зависимости очертаний рельефа от местоположения, времени, рельефообразующих факторов, а также взаимосвязи геометрических характеристик рельефа. Ясно, что установление такого рода соответствий относится к задачам геоморфологии, сюда же отнесем соответствия, удовлетворяющие приводимому ниже условию (10).

В других случаях геометрические характеристики рельефа могут входить в область определения соответствия (6), определяя собой либо значения геологических, гидрологических, биогеографических и прочих факторов, которые в задачах, удовлетворяющих условию (8), рассматривались как рельефообразующие, либо (в геохронологических исследованиях) время. Этим случаям отвечает условие:

, (9)

— логический союз «и», означающий, что должны выполняться оба связываемые им высказывания. Примерами задач такого рода могут служить: установление зависимости характеристик потока от формы ложа, дешифрование геологического строения по очертаниям рельефа, измерение времени скоростью денудации. Отнесение такого рода задач к геоморфологии или к смежным к ней наукам в той или иной мере условно. Те из задач, которые можно отнести к геоморфологии, мы будем называть ее пограничными задачами. Таким образом, условие (9) является необходимым, но недостаточным точно так же, впрочем, как и условие (8), которому могут удовлетворять пограничные задачи смежных с геоморфологией наук.

.

означает «не существует».

Накладывая на пространство (5) и соответствия (6) приведенные условия, можно поставить основные задачи геоморфологии и выделить разделы науки, в которых они решаются.

В пределах внутренних задач геоморфологии, т.е. при выполнении условий (8) или (10), логическое обоснование получают четыре раздела геоморфологии — геометрия, статика, кинематика и динамика рельефа, ранее выделявшиеся интуитивно (Девдариани, 1966).

Геометрия рельефа:

.

.

. Примером такого соответствия, сформулированного в качественной форме, может служить утверждение, что с возрастанием высоты (принимающей значения на упорядоченном множестве G1) уклоны (принимающие значения на упорядоченном множестве G2) преимущественно (это слово указывает на неоднозначность соответствия, его вероятностный характер) возрастают.

.

Изучаются зависимости очертаний рельефа от рельефообразующих факторов в фиксированный момент или промежуток времени. Очевидно, что такие зависимости имеют геоморфологический смысл, если рельеф достиг устойчивого равновесия (например, предельного профиля) и более не изменяется во времени.

.

Изучаются изменения состояния рельефа во времени вне зависимости от вызывающих эти изменения рельефообразующих факторов. При этом могут использоваться два метода описания движения: а) Локальный метод, когда объектами наблюдения служат элементы p физического пространства (например, точки на карте), в которых с течением времени t изменяются геометрические характеристики рельефа g1, g2, …, gk. Соответствие (6) получает вид

. (10)

обозначает логическое отношение эквивалентности, смысл которого состоит в том, что первое высказывание, утверждающее присутствие в области определения соответствия (6) множества M, требует осуществления второго высказывания, гласящего, что областью значений соответствия является только множество P, и наоборот. Выражение (10) является упоминавшимся выше вторым наряду с (8) условием, определяющим внутренние задачи геоморфологии.

.



Рассмотрим бесконечную упорядоченную последовательность элементов времени:



— восстанавливаются историческим и методами, на основании сохранившихся свидетельств прошлых состояний. В соответствии с этим в каждом из разделов геоморфологии следует различать задачи:

;

.

при соблюдении, разумеется условия (9).

Автор не накладывает никаких ограничений на множества, входящие в прямое произведение W, и допускает, в частности, что они могут быть неупорядоченными. Поэтому множество векторов, образующих W, не является пространством в строгом математическом понимании. Однако автору представляется, что в географических и геологических целях такое расширение математического понятия пространства было бы весьма удобным. И это не шло бы в разрез с общей тенденцией расширения понятия пространства в математике от трехмерного евклидова к многомерным евклидовым, затем к метрическим и далее к топологическим пространствам.

Реферат «Математические основания геоморфологии» по статье А.С. Девдариани.

стр. PAGE 7 из NUMPAGES 7
NURBIZ.KZ - каталог компаний и предприятий Казахстана и Алматы

Coccodrillo

Скидка 100%

Розыгрыш гироскутеров в Coccodrillo!

Рабочие специальности – новые горизонты и перспективы

Работа за границей для студентов – что может быть проще