Министерство общего и профессионального образования Р.Ф.

Иркутский государственный технический университет.

Кафедра высшей математики.

Реферат.

Применение тройных или кратных

интегралов.

Выполнила: студентка

группы ТЭ-97-1

Мелкоступова С.С.



Проверил преподаватель

кафедры высшей математики

Седых Е.И.

Иркутск 1998.

Содержание.

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

II. Вычисление тройных интегралов.

1. Декартовы координаты.

А) Пример.

2. Цилиндрические координаты.

3. Сферические координаты.

А) Пример.

4. Применение тройных интегралов.

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

(рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:



Единица измерения плотности - кг/м3.



Рис. 1.

, мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы

(*)

и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела



.

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл



функция.

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .

:



Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.

удовлетворяет неравенствам



то



.

VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.



II. Вычисление тройных интегралов.

может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.

1. Декартовы координаты.





отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования



В соответствии с этим будем писать



Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.

имеет вид, изображенный на рис. 1).

.

.

.

Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки Р (х, у); обозначим ее через F(х, у):



При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные.

Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у) при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл



Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде



Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим

(*)

(в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D.

производится, посредством трех последовательных интегрировании.

(рис. 2).



Рис.2

Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :



В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.

Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

Рис.3 Рис.4



А) Пример.

Вычислим тройной интеграл



- область, ограниченная координатными плоскостями



(пирамида, изображённая на рис.4).

на плоскость Oxy через D, получим







2. Цилиндрические координаты.

ее проекции Р на плоскость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно:

(*)



Рис.5

служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение





Получим







то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:



3. Сферические координаты.

.



Рис.6

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем



Отсюда

(**)

которыми будут





по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение



по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь



, пределы интегрирования следует расставить так:





A) Пример.

Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим



Применение тройных интегралов.

:



, то формулы упрощаются:



где V- объём тела.

:



равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).

удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:



то



получим следующие формулы :



Аналогично плоскому случаю интегралы



называются центробежными моментами инерции.

Для полярного момента инерции формула имеет вид



- плотность тела в точке P.

Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь



где М—масса шара.

получим



- величина ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить для вычисления .кинетической энергии интеграл.

выразится так :



получаем



т.е.



Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.

Список использованной литературы.

1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович.

Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971 г.,736с.
NURBIZ.KZ - каталог компаний и предприятий Казахстана и Алматы

Coccodrillo

Скидка 100%

Розыгрыш гироскутеров в Coccodrillo!

Школа для одаренных детей – центр развития талантов в РК

Студент, которому за 30: сказочный миф или реальность