--











Сфера и шар





































Работа ученика 11 класса

средней школы №1906

юго-западного округа

г.Москвы

Кашина Виталия.





Сфера и шар.

Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии.





Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.

Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки

(или фигура, ограниченная сферой).



Уравнение сферы.



M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.

след. MC= т.к. MC=R, то

если т.М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты точки М

не удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид :





Взаимное расположение сферы и плоскости.













d - расстояние от центра сферы до плоскости.

след. C(0;0;d), поэтому сфера имеет уравнение

плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0

Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.

след. возможны 3 решения системы :





1) dR , d^2>R^2 R^2 - d^2 < 0

x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений

Касательная плоскость к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема:

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.



Доказательство:

Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

ч.т.д.

Теорема:

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

ч.т.д.

Площадь сферы:

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R :

S=4ПR^2
NURBIZ.KZ - каталог компаний и предприятий Казахстана и Алматы

Центр Газонных Трав

Спринклера и многое другое для полива и орошения, всего от 110 тг.

Защита диплома – что нужно знать каждому студенту

Школьный перекус или несколько минут здорового удовольствия от...