Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f ( t , x )









(1)

с начальными условиями x ( t0 ) = x0 (2)

где x = ( x1, x2, ... , xn ) - n - мерный вектор; t ( I = [t0, + ( [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f1 ( t , x ) , f2 ( t , x ) , ... , fn ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t0 ) = x0. С целью упрощения все рисунки п. 10 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.



x

0 t

Рис.1

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn+1 (рис.1)

начальные данные ( t0 , x0 ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

x ( t ; t0 , x0 ) , вызванное отклонением ( x0 начального значения x0 , будем записывать следующим образом:

| x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) - x ( t ) | = | x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) - x ( t ; t0 , x0 ) |.

x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x0 на интервале I = = [ t0, + ( [ , т.е. ( ( > 0 ( ( > 0 такое, что ( ( x0

| ( x0 | ( ( ( | x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) - x ( t ) | ( ( ( t ( t0.

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ( + ( для достаточно малых ( x0 , т.е. ( ( > 0 ( ( x0.

| ( x0 | ( ( ( | x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) - x ( t ) | ( 0 , t ( + ( . (3)

то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t0 , x0 + ( x0 ) , близкие в начальный момент t0 к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах ( - трубки ) , не выходят за пределы ( - трубки при всех значениях t ( t0 .



x

0 t

Рис.2

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x1 ( t ) , начинающееся в момент t0 в ( - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса ( называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x2 ( t ), начинающееся при t = t0 за пределами области притяжения, но в пределах ( - трубки, не покидает ( - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t0 , x0 ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы ( - трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол ( ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.



x

0 t

Рис.3 Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему

y’ = F ( t, y ). (4)

где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) ( 0 ( t ( t0.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) ( 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 ( t ( t0, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) ( 0 системы (1).

Определение 3. Нулевое решение x ( t ) ( 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если ( ( > 0 ( ( = ( ( ( ) > 0 такое, что ( x0

| ( x0 | ( ( ( | x ( t ; t0 , x0 ) | ( ( ( t ( t0.

Если кроме того,

( > 0 ( x0 | ( x0 | ( ( ( | x ( t ; t0 , x0 ) | ( 0 , t ( + ( ,

то решение x ( t ) ( 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .

Определение 4. Нулевое решение x ( t ) ( 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

( ( > 0 ( t1 > t0 ( ( > 0 x0 ( 0 | x0 | ( ( ( | x ( t ; t0 , x0 ) | > ( .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) ( 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.



x

t

0

Рис.5

x

t

0

Рис.6

x

t

0

Рис.7

2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f ( x ). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая ( , которую можно параметрически задать в виде xi = xi ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1 , ... , xn ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x1 = x1 ( t ), ... , xn = xn ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами ( t , x1 , x2 , ... , xn ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда Rn+1 - трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.



x2 x2



0 t 0 x1

x1

а) Рис.8 б)



Определение 5. Точка ( a1, a2 , ... , an ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1 , f2 , ... , fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где a = ( a1 , a2 , ... , an ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .

Если ( a1 , ... , an ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) ( 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями ( - трубки и ( - трубки являются окружности с радиусами ( и ( . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах ( - окружности, не покидают ( - окружность ( t ( t0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения ( , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой ( - окружности и всех ( > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A - постоянная матрица размера n ( n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.



x2

0 x1

Рис.9



x2

0 x1

Рис.10



x2

0 x1

Рис.11

3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

( dx / dt = P ( x , y ),

( (A)

( dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x0 , y0 ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x0 , y0 ) = 0 , Q ( x0 , y0 ) = 0.

Рассмотрим систему

( dx / dt = a11 x + a12 y,

( (7)

( dy / dt = a21 x + a22 y.

где aij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = ( 1 e k t , y = ( 2 e k t . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a11 - k a12

= 0. (9)

a21 a22 - k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 > 0, k2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k1 = 0, k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные : k1 = p + q i, k2 = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q ( 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q ( 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q ( 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k1 = k2 . Подслучаи :

1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dxi n

= ( ai j xj ( i = 1 , 2 , ... , n ) (10)

dt i=1

характеристическим уравнением будет

a11 - k a12 a13 ... a1n

a21 a22 - k a23 ... a2n = 0. (11)

. . . . . . . .

an1 an2 an3 ... ann - k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi ( t ) ( 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi ( t ) ( 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя xi ( t ) ( 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами

.

( x = a11 x + a12 y,

( . (12)

( y = a21 x + a22 y

характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k2 + a1 k + a2 = 0.

1) Если a1 > 0 , a2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а1 > 0 , a2 = 0, или a1 = 0 , a2 > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a1 = a2 = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
NURBIZ.KZ - каталог компаний и предприятий Казахстана и Алматы

GREEN VOYAGES

Скидка 50%

Море волнуется без вас! Горящие туры от 95 000 тенге.

Работа на лето дает приличный заработок и здоровье

Школьная форма в Казахстане подойдет на любой вкус и цвет