Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые в таблице 1.



Таблица 1



















































































































































































































Х



Y



X



Y



X



Y



X



Y





70



60



97



62



27



25



57



35





73



60



96



85



43



25



60



34





80



55



67



34



24



19



92



85





41



30



80



80



24



20



93



75





56



25



82



78



27



19



100



65





103



92



90



80



100



90



120



115





104



92



120



92



101



110



120



90





104



114



115



115



102



112



92



75





93



62



123



115



145



118



123



112





118



115



127



120



150



118



123



100





121



92



127



117



150



119



96



72





117



92



130



120



150



120



130



119





112



110



135



125



131



120



142



119





96



78



153



125



132



142



142



140





127



120



153



142



202



175



145



144





130



125



153



135



202



173



157



150





130



140



153



145



205



202



180



180





130



119



162



172



180



202



180



200





150



140



165



165



188



225



180



175





140



120



165



150



210



220



180



190





140



125



165



146



221



225



200



200





162



170



170



152



225



220



200



175





155



170



170



165



225



230



240



228





157



160



154



170



227



232



240



232





157



165



154



165



237



232



132



140







1) Находим, что



Тогда длина интервала группирования



- число интервалов (разрядов), неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При ,



2) Находим границы величины



,



3) Находим значение представителей



- середина i-того интервала.



4) Для графического описания выборки по условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис. 1) и эмпирическую функцию распределения (рис. 2)



а) На гистограмме относительных частот высота прямоугольников выбирается равной , основания прямоугольников соответствуют интервалам разбиения. Площадь i-того прямоугольника равна относительной частоте наблюдений, попавших в i-тый интервал.



Составляем таблицу частот группированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала i, значениями нижней границы (начала интервала) и представителя интервала , числами значений в i-том интервале , накопленной частоты , относительной частоты , накопленной относительной частоты . Число строк таблицы равно числу интервалов r.



Рис. 1. Гистограмма относительных частот



б) Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот представителей разрядов:



Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединам интервалов группировки , причём при , и при



Рис. 2. Эмпирическая функция распределения



5) Составленную ранее таблицу частот группированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений и . Она содержит результаты промежуточных вычислений по формулам



6) После заполнения таблицы 2 рассчитываем значение числовых оценок:



7) Определяем коэффициент вариаций



8) Определяем границы доверительного интервала для математического ожидания по формулам



При заданной доверительной вероятности по таблицам распределения Стьюдента , поэтому имеем



9) Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины Х равно



10) По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н0 о подчинении случайной величины Х нормальному закону распределения. Для построения теоретической функции и составляем таблицу значений (таблица 3) нормальной величины , определяем функцию Лапласа , значения функции распределения на концах отрезков и вероятность попадания в i-тый интервал по формуле



11) Рисунок 2 с эмпирической функцией распределения дополняем теоретической функцией F(x), значения которой найдены на концах интервалов.



Рис. 3. Эмпирическая , теоретическая функция распределения.



12) Для проверки согласия выдвинутой гипотезы о о законе распределения экспериментальным данным находим вероятность попадания опытных данных в i-тый интервал от до на основе полученных значений функции на границах интервалов. На построенную раньше гистограмму наносим точки с координатами и соединяем их плавными линиями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность распределения, необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров.



Рис. 4. Гистограмма относительных частот и теоретическая плотность вероятности .



13) При количественной оценке меры близости эмпирического и теоретического законов распределения можно использовать критерии Пирсона или Колмогорова.



а) по критерию Колмогорова:



Максимальное значение модуля разности между значениями эмпирической и теоретической функциями(см. рис. 3) наблюдается в точке, близкой к представителю . Тогда



Вычисляем величину



где r - объём выборки из представителей интервалов



, следовательно . Так как , поэтому гипотеза о нормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как не противоречащая опытным данным.



б) Для вычисления таблицу 3 дополняем промежуточными результатами ,, . Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда . Получаем, что



Для нормального закона распределения . Тогда число степеней свободы . При имеем . Поэтому гипотеза по критерию Пирсона принимается.



14) Составляем точечную диаграмму в декартовой (рис. 5) системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение , а по оси ординат - . Пары значений представляем на диаграмме в виде точек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальных прямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину интервала по оси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми - длину интервала по оси ординат.



15) Для вычисления коэффициента корреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние две строки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценки коэффициента корреляции



16) Находим



Следовательно, линейные приближения к регрессиям имеют вид:



На рисунке 3 представлены точечная диаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X. Расположение точек на диаграмме и небольшое значение коэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величин X и Y между собой.



Таблица 2


































































































































№ интервала















1



24



34,8



6



6



0,06



0,06



208,8



-99,36



9872,41



59234,46





2



45,6



56,4



4



10



0,04



0,1



225,6



-77,76



6046,618



24186,47





3



67,2



78



5



15



0,05



0,15



390



-56,16



3153,946



15769,73





4



88,8



99,6



16



31



0,16



0,31



1593,6



-34,56



1194,394



19110,3





5



110,4



121,2



21



52



0,21



0,52



2545,2



-12,96



167,9616



3527,194





6



132



142,8



15



67



0,15



0,67



2142



8,64



74,6496



1119,744





7



153,6



164,4



13



80



0,13



0,8



2137,2



30,24



914,4576



11887,95





8



175,2



186



6



86



0,06



0,86



1116



51,84



2687,386



16124,31





9



196,8



207,6



7



93



0,07



0,93



1453,2



73,44



5393,434



37754,04





10



218,4



229,2



7



100



0,07



1



1604,4



95,04



9032,602



63228,21





11



240



 



 



 



 



 



 



 



 



 






Сумма




100




1




13416





251942,4







Таблица 3

































































































№ интервала













1



24



-2,18368



-0,4854



0,0146



0,0255



2,55



3,8025



0,224336





2



45,6



-1,75551



-0,4599



0,0401



0,0517



5,17







3



67,2



-1,32733



-0,4082



0,0918



0,0923



9,23







4



88,8



-0,89916



-0,3159



0,1841



0,1351



13,51



6,2001



0,458927





5



110,4



-0,47099



-0,1808



0,3192



0,1648



16,48



20,4304



1,239709





6



132



-0,04282



-0,016



0,484



0,164



16,4



1,96



0,119512





7



153,6



0,385355



0,148



0,648



0,143



14,3



1,69



0,118182





8



175,2



0,813527



0,291



0,791



0,1015



10,15



17,2225



1,696798





9



196,8



1,241699



0,3925



0,8925



0,06



6



25,8064



2,893094





10



218,4



1,669871



0,4525



0,9525



0,0292



2,92







11



240



2,098043



0,4817



0,9817



 



 



 



 







Министерство образования и науки Российской Федерации.



Федеральное агентство по образованию.



Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования.



Самарский государственный технический университет.



Кафедра высшей математике




Типовой расчёт №2





студент II - ХТ - 2 Самаров А.А.



руководитель: Корнфельд С.Г.



ассистент: Стрелкова Н.Н.



Самара



2004 г.



Пусть случайные величины Х и Y принимают значение, приведённые в таблице 1.



Таблица 1



















































































































































































































Х



Y



X



Y



X



Y



X



Y





70



60



97



62



27



25



57



35





73



60



96



85



43



25



60



34





80



55



67



34



24



19



92



85





41



30



80



80



24



20



93



75





56



25



82



78



27



19



100



65





103



92



90



80



100



90



120



115





104



92



120



92



101



110



120



90





104



114



115



115



102



112



92



75





93



62



123



115



145



118



123



112





118



115



127



120



150



118



123



100





121



92



127



117



150



119



96



72





117



92



130



120



150



120



130



119





112



110



135



125



131



120



142



119





96



78



153



125



132



142



142



140





127



120



153



142



202



175



145



144





130



125



153



135



202



173



157



150





130



140



153



145



205



202



180



180





130



119



162



172



180



202



180



200





150



140



165



165



188



225



180



175





140



120



165



150



210



220



180



190





140



125



165



146



221



225



200



200





162



170



170



152



225



220



200



175





155



170



170



165



225



230



240



228





157



160



154



170



227



232



240



232





157



165



154



165



237



232



132



140







1) Находим, что



Тогда длина интервала группирования



- число интервалов (разрядов), неформализован и зависит от объёма и степени однородности выборки. При ,



2) Находим границы величины



,



3) Находим значение представителей



- середина j-того интервала.



4) Для графического описания выборки по условиям задания необходимо построить гистограмму относительных частот (рис. 1) и эмпирическую функцию распределения (рис. 2)



а) На гистограмме относительных частот высота прямоугольников выбирается равной , основания прямоугольников соответствуют интервалам разбиения. Площадь j-того прямоугольника равна относительной частоте наблюдений, попавших в j-тый интервал.



Составляем таблицу частот группированной выборки (табл. 2), содержащую столбцы с номерами интервала j, значениями нижней границы (начала интервала) и представителя интервала , числами значений в j-том интервале , накопленной частоты , относительной частоты , накопленной относительной частоты . Число строк таблицы равно числу интервалов r.



Рис. 1. Гистограмма относительных частот



б) Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот представителей разрядов:



Функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, имеющие скачки в точках, соответствующих серединам интервалов группировки , причём при , и при



Рис. 2. Эмпирическая функция распределения



5) Составленную ранее таблицу частот группированной выборки (табл. 2) дополняем таблицей расчёта числовых значений и . Она содержит результаты промежуточных вычислений по формулам



6) После заполнения таблицы 2 рассчитываем значение числовых оценок:



7) Определяем коэффициент вариаций



8) Определяем границы доверительного интервала для математического ожидания по формулам



При заданной доверительной вероятности по таблицам распределения Стьюдента , поэтому имеем



9) Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины Y равно



10) По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н0 о подчинении случайной величины нормальному закону распределения. Для построения теоретической функции и составляем таблицу значений (таблица 3) нормальной величины , определяем функцию Лапласа , значения функции распределения на концах отрезков и вероятность попадания в i-тый интервал по формуле



11) Рисунок 2 с эмпирической функцией распределения дополняем теоретической функцией F(y), значения которой найдены на концах интервалов.



Рис. 3. Эмпирическая , теоретическая функция распределения.



12) Для проверки согласия выдвинутой гипотезы о о законе распределения экспериментальным данным находим вероятность попадания опытных данных в j-тый интервал от до на основе полученных значений функции на границах интервалов. На построенную раньше гистограмму наносим точки с координатами и соединяем их плавными линиями (Рис. 4). Сравнивая вид гистограммы и плотность распределения, необходимо убедиться в их адекватности, близости их характеров.



Рис. 4. Гистограмма относительных частот и теоретическая плотность вероятности .



13) При количественной оценке меры близости эмпирического и теоретического законов распределения можно использовать критерии Пирсона или Колмогорова.



а) по критерию Колмогорова



Максимальное значение модуля разности между значениями эмпирической и теоретической функциями(см. рис. 2) наблюдается в точке, близкой к представителю . Тогда



Вычисляем величину



где r - объём выборки из представителей интервалов



, следовательно . Так как , поэтому гипотеза о нормальном распределении по критерию Колмогорова принимается как не противоречащая опытным данным.



б) Для вычисления таблицу 3 дополняем промежуточными результатами ,, . Объединяем 1,2,3 и 9,10. Тогда . Получаем, что



Для нормального закона распределения . Тогда число степеней свободы . При имеем . Поэтому гипотеза по критерию Пирсона принимается.



14) Составляем точечную диаграмму в декартовой системе координат, где по оси абсцисс откладываем значение , а по оси ординат - . Пары значений представляем на диаграмме в виде точек. На диаграмму наносим сетку равноотстоящих горизонтальных и вертикальных прямых. Расстояние между двумя вертикальными прямыми выражает длину интервала по оси абсцисс, а расстояние между горизонтальными прямыми - длину интервала по оси ординат.



15) Для вычисления коэффициента корреляции составляется корреляционная таблица (таблица 4). В последние две строки заносятся промежуточные результаты для вычисления точечной оценки коэффициента корреляции



16) Находим



Следовательно, линейные приближения к регрессиям имеют вид:



На рисунке 3 представлены точечная диаграмма и линии регрессии X на Y и Y на X. Расположение точек на диаграмме и небольшое значение коэффициента корреляции указывают на слабую коррелированность случайных величин X и Y между собой.



Таблица 2


































































































































№ интервала















1



19



29,65



10



10



0,1



0,1



296,5



-93,933



8823,408



88234,08





2



40,3



50,95



3



13



0,03



0,13



152,85



-72,633



5275,553



15826,66





3



61,6



72,25



10



23



0,1



0,23



722,5



-51,333



2635,077



26350,77





4



82,9



93,55



10



33



0,1



0,33



935,5



-30,033



901,9811



9019,811





5



104,2



114,85



26



59



0,26



0,59



2986,1



-8,733



76,26529



1982,898





6



125,5



136,15



10



69



0,1



0,69



1361,5



12,567



157,9295



1579,295





7



146,8



157,45



7



76



0,07



0,76



1102,15



33,867



1146,974



8028,816





8



168,1



178,75



10



86



0,1



0,86



1787,5



55,167



3043,398



30433,98





9



189,4



200,05



4



90



0,04



0,9



800,2



76,467



5847,202



23388,81





10



210,7



221,35



10



100



0,1



1



2213,5



97,767



9558,386



95583,86





11



232



 



 



 



 



 



 



 



 



 






Сумма




100




1




12358,3





300429







Таблица 3





























































































№ интервала













1



19



-1,89849



-0,4713



0,0287



0,0368



3,68



8,4681



0,421508





2



40,3



-1,51183



-0,4345



0,0655



0,0659



6,59







3



61,6



-1,12517



-0,3686



0,1314



0,0982



9,82







4



82,9



-0,73852



-0,2704



0,2296



0,1336



13,36



11,2896



0,84503





5



104,2



-0,35186



-0,1368



0,3632



0,1488



14,88



123,6544



8,310108





6



125,5



0,034799



0,012



0,512



0,1508



15,08



25,8064



1,7113





7



146,8



0,421457



0,1628



0,6628



0,1282



12,82



33,8724



2,642153





8



168,1



0,808114



0,291



0,791



0,092



9,2



30,6916



1,6626





9



189,4



1,194772



0,383



0,883



0,0599



5,99







10



210,7



1,58143



0,4429



0,9429



0,0327



3,27







11



232



1,968087



0,4756



0,9756










Сумма









13,5927








NURBIZ.KZ - каталог компаний и предприятий Казахстана и Алматы

Fortis

Скидка 20%

Скидка 20% на "Начальный профилактический курс" от торговой марки "Fortis"

Детская лень мешает учебе – как подбодрить школьника

Студенческий Хэллоуин – праздник Шайтана или шанс показать свое...