Свойства многомерного нормального распределения

также распределен нормально.

Если все коэфициенты корелляционной или ковариационной матрицы B (все ее недиагональные элементы) равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми.



независимы.

Теорема.



Проводим линейное преобразование Y=AX. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида



Следствие: Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица



Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства Rn в некоторую область того же пространства.

Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y. При этом





Запишем эти вероятности



где |I| - якобиан перехода



Т.к. область S и соответственно D произвольны, то плотность вероятности случайного вектора x равна



n-мерная плотность вероятности случайного вектора Y равна



Преобразуем показатель степени e



Можно показать, что если нормальное распредление имеет данный вид, то B - ее ковариационная матрица



Следствие.

Тогда Y=AX имеет нормальное распределение вида



Y - m-мерный вектор.

Для определенности положим, что матрица A имеет вид

A = (A1 A2)





. Считается, что m первых столбцов независимы.



равен определителю полученной квадратной матрицы и не равен нулю.



Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение.

Z=CX

Компоненты вектора Z имеют вид



Пусть матрица А произвольная, но т.к. ее ранг равен m она содержит m линейно независимых столбцов. Путем перестановки столбцом соберем эти столбцы в первые m. И соответствующим образом пронумеруем компоненты вектора Х. Попадаем в предыдущий случай.

Предельные случайные последовательности.

в котором задана счетная последовательность случайных величин, каждая из которых является измеримой



измеримо, т.е. имеет вероятность наступления. Действительно событие



- алгебры ей принадлежит и счетное перечисление этих событий, таким образом событие имеет вероятность наступления.

, который может быть постоянной или случайной величиной. В теории вероятности этот предел понимают следующим образом: под сходимостью последовательности к пределу понимают событие А которое может задаватся следующим образом:



Событие А состоит из всех m, удовлетворяющих условию: для любого как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется



,то



Для любого, как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется



3.Если предел случайная величина, то



- алгебре и следовательно имеет вероятность наступления

-алгебре. Следовательно событие А имет вероятность наступления.

Если предел константа, то эквиваленты 1 и 2, если случайная величина - то 1 и 3.

Существующие определения сходимости случайных величин.

предел последовательности.

1. Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1, если Р(А)=1.

Это не вероятность достоверного события.

2. Сходимость по поверхности.

по поверхности, если



3. Сходимость в среднеквадратичном.

Последовательность случайных величин сходится к пределу в среднеквадратичном, если выполняется



Покажем, что из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности.

Воспользуемся Неравенством Чебышева



При любом конечном r если выполняется сходимость в среднеквадратичном, то этот предел существует и равен 0, т.к числитель сходится к 0, а знаменатель конечен.

Теорема.

с вероятностью 1 только тогда, когда



имеет своим дополнением событие



и сходимость с вероятностью 1 означает, что P(B)=0.

.





Докажем это.

Будем искать P(Br) так



имеет следующую структуру:



Показать самим, что следующее событие включает предыдущее.



По построению справедлива следующая формула



По третьей аксиоме теории вероятности



Построенный ряд D1, D2...Dn образует неубывающую ограниченную последовательность, следовательно имеет предел сверху.

Поэтому возможен переход



Теорема Бернули.

Рассмотрим систему независимых испытаний Бернули.



Система испытаний неограничена. С каждым i-видом испытаний свяжем дискретную величину Xi



Хi принимают значения 1, если в i-том испытании произошло событие А и 0 - в противном случае



- число появлений события А в n испытаниях





Это частость наступления события А в n испытаниях



Используем неравенство Чебышева



где ( - произвольное неотрицательное число



Получена теорема Бернулли.

Частость наступления произвольнлго события при числе испытаний стремящемся к бесконечности по вероятности сходится к теоретической вероятности наступления события.

PAGE

PAGE 45

S

D

Вг2

Вг3

Вг1

С2

С3

С1

Икь
NURBIZ.KZ - каталог компаний и предприятий Казахстана и Алматы

MAYA Boutique KZ

Скидка 100%

При покупке на сумму 20 000 тг в подарок футболка!

Меню отличника – какими вкусняшками заставить свой мозг работать

Детская лень мешает учебе – как подбодрить школьника